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托勒密定理的應用及推廣

時間:2019-06-16 12:08來源:畢業論文
摘要 托勒密定理是歐幾里得幾何學中一個關于圓與四邊形的定理, 定理對初等幾何學的研究有重要的意義.本文對托勒密定理的內容、證明和應用作全面的歸納和總結,并在此基礎上對

摘要 托勒密定理是歐幾里得幾何學中一個關于圓與四邊形的定理, 定理對初等幾何學的研究有重要的意義.本文對托勒密定理的內容、證明和應用作全面的歸納和總結,并在此基礎上對其做出簡單的推廣.36366
畢業論文關鍵詞 托勒密定理;證明;應用;
推廣托勒密定理實際出自古希臘天文學家希巴恰斯之手,托勒密從其書中摘錄并完善[1].定理指出凸四邊形兩組對邊乘積之和不小于兩條對角線的乘積, 等號成立當且僅當四邊形為圓內接四邊形,或退化為直線取得.狹義的托勒密定理僅對于圓內接凸四邊形而言,這里主要介紹狹義的托勒密定理.一、托勒密定理的內容圓內接凸四邊形兩邊對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積,即:AC•BD = AB•CD + BC•DA.二、定理的證明證法一 (平面幾何法)如圖 1,ABCD為圓的內接凸四邊形,連接其對角線 AC、BD.在 BD上取一點 P,連接AP,使得∠BAP=∠CAD.那么,在弦 AD 上,∠ABD=∠ACD,所以△ABP∽△ACD,故ABAC=BPCD,即 AB•CD=AC•BP(*)在弦 AB上,∠BCA=∠PDA,又因為∠BAC=∠DAP,故△BAC∽△PAD,所以BCPD=ACAD,即 BC•AD=PD•AC (**)(*)+(**)有:AB•CD+BC•AD=AC•(BP+PD),即有等式 AB•CD + BC•DA= AC•BD.證畢.證法二 (代數中和差化積法)設弦 AB、BC以及 CD 對應的圓周角分別為α、β及θ,外接圓半徑為 R.那么 AB=2R ? sin ,BC=2R ? sin ,CD=2R ? sin ,AD=2R ) ( ? ? ? ? ? sin ,AC=2R ) ( ? ? ? sin ,BD=2R ) ( ? ? ? sin .于是,有下列等式成立:AB•CD=2R ? sin •2R ? sin ;BC•DA=2R ? sin •2R ) ( ? ? ? ? ? sin ;AB•CD + BC•DA=2R ? sin •2R ? sin +2R ? sin •2R ) ( ? ? ? ? ? sin ,拆開進行重組,可得原式等于 4R2) ( ? ? ? sin • ) ( ? ? ? sin ,即 AB•CD + BC•DA= AC•BD成立.證畢.證法三 (分析法)設 AB=a,BC=b,CD=c,AD=d,AC=e,BD=f.如果結論成立,只需證明 ac+bd=ef.將上式兩邊同時除以 e,則要證明ace+bde=f,可以假設 BP=ace,那么只需證明 PD=bde, 而若 PD=bde成立,則只需證明△ADP∽△ACB,這只需證明∠BAP=∠CAD,進而需證明△ABP∽△ACD.又因為 BP=ace,所以△ABP∽△ACD,結論成立.證畢.除了以上三種,還有其他的證明方法,不過出發的思路大同小異,這里不做贅述.三、定理的應用1、托勒密定理在解析幾何中的應用例 1(求線段之間的代數關系) 如右圖 2,P 是正三角形外接圓劣弧 BC 上的任意一點 (不與 B、 C重合) , 求證: PA=PB+PC.解析 此題可以用延長線的方法來證明三角形全等, 進而得到相應線段關系,但比較繁瑣.出現圓內接的凸四邊形,應該聯想到托勒密定理.證明 由題得知,四邊形ABCP 是圓的內接四邊形,AP、BC為其兩條對角線,且 AB=AC=BC,設 AB=AC=BC=a.由托勒密定理,AB•PC+BP•AC=AP•BC,則有 a•PC+BP•a=AP•a,消去相同因子,得 PC+PB=PA.證畢.例 2(求圖形的面積) 點 P 在以 F1,F2為焦點的橢圓x212+y23=1 上,∠F1PF2 =π3,求△F1PF2的面積.解 如右圖, 設 PF1=a, PF2=b; 延長 F1P 至點 R,使得 PR=b;延長 F2P 至點 Q,使得 PQ=a,連接 QR,QF1,RF2.因 為 ∠ F1PF2 =π3, 所 以 ∠ F1PQ= ∠F2PR=2π3,F1Q= 3 a,F2R= 3 b.由橢圓的性質, a+b=4 3 , F2F1=6, 可知 QR=6.又因為∠F1QF2=∠F1RF2,所以 F1,F2,Q,R四 點 共 圓 , 由 托 勒 密 定 理 ,F1R• F2Q=QR• F1F2+QF1• RF2, 即 (a+b) (a+b) =36+3ab.代入數據得 ab=4,故 S△F1PF2=12ab•sin∠F1RF2=12•12•4 3 = 3 .例 3(求證三角形勾股定理) 在 Rt△ABC中,∠B= o90 ,求證:AC2=AB2+BC2. 托勒密定理的應用及推廣:http://www.mmeqir.tw/shuxue/20190616/34776.html
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