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數形結合思想在中學數學教育的應用

時間:2019-06-16 12:02來源:畢業論文
對數形結合思想的定義、分類、歷史演進和存在問題四個方面進行論述的,闡述我對數形結合思想的理解,通過培養學生數形結合的思想來提升他們的解題能力

摘要: 本篇文章主要是對數形結合思想的定義、分類、歷史演進和存在問題四個方面進行論述的,闡述我對數形結合思想的理解,通過培養學生數形結合的思想來提升他們的解題能力。36363
畢業論文關鍵詞: 數形結合;解題能力;數學思想;思維習慣
1 引言數和形是數學研究對象中最古老,也是最基本的,一般來說,把抽象的代數問題和幾何圖形聯系起來,就能很快的找到論證方法,從而求出最終結果;而且幾何中有難度的題也可以把它轉化為代數問題,從而找到一定的規律與運算方法,便于求解。因此,在日常教學中,我們需要注意培養學生的數形結合的意識,使用數形結合去處理問題的能力,使他們感受到運用數形結合思想能夠把復雜的問題簡單化,隱晦的數學問題明顯化,進而緩解學生對抽象復雜問題的害怕心理同時提高他們的解決問題能力。訓練學生應用數形結合思想去思考問題的意識,提高學生應用數形結合解決問題的能力,使他們體會到這種方法的優越性,從而增加他們對數學的興趣。使學生感到學習數學不是一件枯燥乏味的事情,積極動腦思考問題,調動學生學習的積極性。
2 數形結合的定義數與形是數學中研究對象的兩個最古老,也是最基本的,它們能夠在一定條件下相互轉化。可以把中學數學研究的對象分為數和形這兩大部分,數和形是有聯系的,這種聯系我們稱它為數形結合, 或著形數結合。 數形結合作為一種數學思想方法, 又可以把它的應用大致分為兩種情形:要么是借助于數的精確性來闡明形的某些屬性, 要么是借助形的幾何直觀性來闡明數之間某種關系,或者說數形結合包括兩個方面:第一個情形是“以數解形”,而第二個情形是“以形助數”。這個“以數解形”就是有些圖形太過于簡單,學生如果直接觀察卻看不出什么規律來,那么這時就需要給圖形賦值,像邊長、角度等。類似的,如果數的關系我們不能很直觀的看出來,我們便可以借助圖形來表示題目當中所表示的數量關系或者也可以畫出圖形,將數量關系用圖形來表示,使學生看起來一目了然,有利于問題的解決。
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3 數形結合的歷史演進根據歷史記載,在很久很久以前的歐洲就產生了最初的數形結合思想;一樣的,我們國家古代數學家也早已經在解題中運用數形結合,因此數形結合思想在中學的應用十分重要,數形結合的思想幾乎貫穿了整個解析幾何。數形結合就是根據數學問題的條件與結論之間的內在關系,在分析它代數意義的同時,又分析它們的幾何直觀,讓代數問題和幾何直觀發生聯系,使數學問題由繁化簡,由難變易,使同學能夠找到更加清晰和快捷的思路去解決數學問題,并且在解題的過程中發現數學的神奇,感受數學問題中蘊含的奧秘,樹立對數學的信心以及樂趣。數形結合的關鍵之處在于數與形之間的相互轉化,在代數問題不容易直接解決的時候轉化為幾何問題,當幾何問題沒有思路的時候轉化為代數問題, 在數與形的相互轉化中, 尋找到解決數學問題的最佳思路。因此,在現代數學教學中,我們應該積極去訓練學生的數形結合的意識,拓寬他們的思維空間,提升他們的解題能力。
4 數形結合思想的分類數形結合思想大體包括兩個情形: 第一個情形是 “以數解形” , 而第二個情形是 “以形助數” 。
4.1“以數解形” 4.1.1 解決集合問題 在集合的運算中常常借助于數軸、Venn 圖來解決集合的交、并、補等運算,從而讓問題得以簡化,使運算變得快捷明了。例 1某班級有學生 55人,他們中喜歡音樂的 35人,喜歡體育的有 45人,還有 4 個人 既不喜歡體育也不喜歡音樂,則班級中既喜歡體育又喜歡音樂的學生有() 人.如圖黑色部分即為所求的既喜歡音樂又喜歡體育的人,兩個大圓分別代表喜歡體育又喜歡音樂的人,黃色部分即為 4 人既不喜歡體育也不喜歡音樂的人,大矩形即代表全班 55人 (PS:43 人和 34 人都包括黑色部分)那么這道題就好求了吧設黑色部分為 x 人,則(43-x)+(34-x)+x+4=55解得 x=26 人評析:如果通過 Venn 圖來表示集合的交,并,補等運算,那么我們就可以簡單明了的看出幾個量之間的關系,在處理這類題目的時候,如果運用數形結合的思想可以讓學生的思路更加清晰,不但提高了做題的速度,而且提高了正確率,從而有利于學生樹立對數學的信心。通過這類題目的訓練, 讓學生明白, 對于關系比較復雜的問題, 我們可以借助圖形來表示各個數量之間的關系,從而發現它們內在的,本質的聯系,從而使問題在頭腦中有一個清晰的表現,以便學生輕松而又正確地解決問題。4.1.2 解決函數問題在研究函數的性質的時候,通過圖像來研究是經常使用的一種方法。函數圖像的幾何性質例 2 求函數 ? ?23 2, 1,3 y x x x ? ? ? ? ? 的值域。分析:觀察到所求的函數為二次函數,由于這個函數在所給的區間上不是單調的,因此學生并不能直接代入端點值去求出值域,所以需要借助圖像來觀察,如圖:借助這個函數的圖像我們可以知道,該函數的值域為 17, 24? ?? ? ?? ?評析:對于這類問題是學生的常見出錯點,學生們由于習慣于直接帶入端點值得出其值域,所以對于給定區間上的二次函數值域問題,使學生養成數形結合的思想是非常重要的,通過這種方法,同學們能夠更加清晰的認清二次函數圖像以及單調性,單調區間的特點,讓學生更好的掌握有關知識,激起他們對數學的熱情。通過這道題目的訓練學生還應發現,在處理某些復雜的問題時,我們不能想當然,如果不能確定問題的實質,我們可以換個方式,用另外的方式來表示已給的問題表征形式,從而發現問題背后我們不能通過直觀感知而發現的問題,通過這種訓練,學生不僅拓寬了解題思路,提高了解題的正確性,而且培養了學生細心全面考慮問題的習慣。4.2.1“以形助數”例 3 在一條直線 l上依次擺放著七個正方形(如圖所示),已知斜著放置的三個正方形的面積分別是 1,2,3,正著放置的四個正方形的面積依次是 S1, S2,S3,S4 ,則 S1+ S2 +S3+S4 = .答案 4解析: 第一個正方形與第二個正方形中間的三角形間隙和第二個正方形與第三個正方形之間的三角形間隙是全等的, 即兩個間隙之間的三角形是全等的, 如果我們假設七個正方形的邊依次為到 ,那么我們可以看出來第二個正方形的邊的平方為第一個正方形的邊的平方加上兩個正方形之間的最長距離, 即 , 同理, , , 又 , ,,所以 ,而,所以評析:在解答這道題目的時候最關鍵的是看出第一個正方形和第三個正方形的邊的關系,兩邊的平方的和等于第二個正方形的邊的平方,通過這道題應用數形結合的方法,使學生體會到,如果正面直接處理幾何問題沒有思路的時候,那么可以轉化到代數方法,通過解決這類復雜問題,使學生在處理幾何問題的時候多了一條高效的途徑,并以此獲得成功的喜悅,使學生進一步體會幾何之美,加強對數學的興趣。由以上正反兩個方面的例子我們可以看出來,在我們處理數學問題的時候,如果能從數與形兩方面來考慮問題,我們不僅可以找到解題的方法,還能更好的理解問題,借此發現數學之美,體驗成功的喜悅,更加喜歡數學。通過這道題目的訓練,可以拓寬學生的思維,讓學生知道在處理幾何問題的時候, 如果思路不通, 可以尋求代數的方法, 在運用數形結合的思想來思考這類題目后,不僅可以拓寬學生的思維,提高解題效率,而且能培養學生多個角度思考問題的好習慣。 數形結合思想在中學數學教育的應用:http://www.mmeqir.tw/shuxue/20190616/34773.html
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